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Ondas estacionarias en una cuerda sujeta por los extremos

 

Vamos a deducir la fórmula que da las frecuencias de los modos de vibración (el sonido)de una cuerda de longitud L fija por sus extremos.

Una onda estacionaria se puede considerar como la interferencia de dos ondas de la misma amplitud y longitud de onda: una incidente que se propaga de izquierda a derecha y la otra que resulta de reflejarse esta en el extremo y se propaga de derecha a izquierda.

y1=A sen (kx -w t) de izquierda a derecha

y2=A sen (kx +w t) de derecha a izquierda

La onda estacionaria resultante es la suma de las dos:

yresultante=y 1+ y2 =2 A sen(wt).

El extremo por el que está sujeta la cuerda no vibra nunca y la función suma en ese punto valdrá cero (durante todo el tiempo). Para que la función anterior sume cero la única justificación es que las amplitudes se inviertan en el punto de rebote de la onda (el punto fijo) y que una valga +A y la otra - A. Sumando las funciones y sabiendo que:

sen a - sen b=2 sen(a-b) /2 ·cos (a+b)/ 2

Hazlo para obtener:

yresultante=y 1+ y2=2A sen(kx) cos(w t).

Como vemos esta no es una onda de propagación, no tiene el término (kx-w t), sino que cada punto de la cuerda vibra con una frecuencia angular w y con una amplitud 2A sen(kx).

La amplitud puede alcanzar distintos valores según la posición, x, del punto. Algunos puntos tendrán amplitud cero y no vibrarán nunca (estacionarios ): son los llamados nodos.

Los puntos que pueden alcanzar un máximo de amplitud igual a "2A" sólo pueden hacerlo de tiempo en tiempo cuando cos(w t) sea igual a 1.

estacionaria.gif (6417 bytes)

Se denominan nodos a los puntos, x, que tienen una amplitud mínima, 2A sen(kx)=0, por lo que kx=np con n =1, 2, 3, ....(recuerda que k=2p/l), o bien, x = l/2, l, 3 /2, ... La distancia entre dos nodos consecutivos es media longitud de onda, l/2.

Supongamos ahora una cuerda de longitud L fija en los extremos. La cuerda tiene un conjunto de modos normales de vibración, cada uno con una frecuencia característica. Las frecuencias se pueden calcular fácilmente.

En primer lugar, los extremos de la cuerda deben de ser nodos ya que estos puntos se encuentran fijos. El primer modo de vibración será aquél en el que la longitud de la cuerda sea igual a media longitud de onda L=l/2.

Para el segundo modo de vibración -un nodo en el centro-, la longitud de la cuerda será igual a una longitud de onda, L=l.

Para el tercer modo, L = 3l/2, y así sucesivamente.

Podemos proceder al revés y variar las longitudes de onda, manteniendo la longitud de la cuerda fija, para obtener diferentes modos de vibración.

Se producirán nodos para una cuerda de longitud "L" cuando la l de la onda tenga los valores dados por la fórmula:

l = 2L/n

 

Como la frecuencia y la longitud de onda están realcionadas con la velocidad de propagación, para hallar las frecuencias que puede tener la onda empleamos la relación l =vT , o bien l =v/u.

V = nn/2L

 

En una cuerda de longitud "L" obtenemos un sonido de frecuencia fundamental dada por la fórmula al sustituir "n" por 1. También se pueden obtener los armónicos de las frecuencias dadas por la fórmula anterior para n =1,2,3

La velocidad de propagacion v de la onda está relacionada con la tensión que se aplique a la cuerda y con el tipo de cuerda. Ver velocidad de propagación de odas transversales

V = n . l
 
Una vez encontrada la frecuencia del primer modo de vibración (frecuencia fundamental o primer armónico), se pueden encontrar rápidamente los restantes armónicos:
la frecuencia del segundo modo es el doble que la del modo fundamental,
la frecuencia del tercer modo es triple, y así sucesivamente...

u 1 Modo fundamental.

u n =nu 1 Armónicos n=2, 3, 4....